数值计算领域的新突破

最近欧洲数学学会(EMS)刊发了一篇名为《数值无限大与无限小:两个希尔伯特问题的方法论,应用和影响》的论文,描述了一种最新的计算方法,涉及数学对象与离散的数字系统间的联系。它允许数学家在用到所有需要的概念的情况下,在一个独特的计算框架中用无穷大和无穷小来进行数值计算。这种方法与康托的集合理论并无矛盾,它基于欧几里德的“通用的概念”——几何原本中的公理5:整体比部分更大,适用于所有的数量(有限的,无限的和无穷小的)以及所有的集合和过程(有限的和无限的)。意大利的逻辑学家Gabriele Lolli教授业已证明该方法本身是自洽无矛盾的。

大卫希尔伯特 | Wikipedia
大卫希尔伯特 | Wikipedia

我们知道自然数1、2、3,……是无限多的,这意味着我们可以一直数下去,直到时间的尽头。从另一个角度来说,2和3之间不存在其他的整数,所以,3是2后面紧挨着的下一个数,类似的,每个自然数都有后面下一位的数字。而实数,诸如0、0.14、π、e等等构成了一条直线。什么意思呢,就是说实数的个数是无法“数”的,因为不存在1后面紧挨着的另一个实数。比如说,1和1.01,我总能写出一个1.0001或1.000000001放到他们之间。评论里提到了有理数,有理数在重排顺序之后,是可以写出1后面下一个数字的,只是这种顺序与自然大小顺序失去了联系,实际上,即使对实数进行任何可能的重新排布,也无法做到这一点;而实数显然也是无限多的,我们称这种无限多叫连续统。

所谓的连系统假设就是,数学家康托猜测,在自然数这种无限多和实数连续统之间,不存在第三种类型的无限多。现代的数理逻辑已经证明了,连续统假设是独立于我们常用的公理系统的。也就是说,无论它正确与否,都不会与通常的数学结论相互冲突。

大卫·希尔伯特在他着名的提出23个重要问题的演讲中(David Hilbert)将其列为大名鼎鼎的第一号问题,而第八号问题就是同样着名的黎曼猜想。

这种新的数值手段需要利用到一种新型超级计算机——无穷大计算机。通过特别定义的逻辑结构,我们可以在其上对涉及无限的对象进行数值计算,而传统的理论只能象征性地处理无穷大和无穷小。它类似当初的非标准分析,处理可以带有无限小数符号的数字系统。无穷大计算机彻底改变了整个数值计算理论的全景,将计算可能性的视界扩大到了不同的数值无限大和无穷小。论文中说,传统的数字系统限制了计算机计算能力,并导致了理论断言的模糊性。新的方法使用与传统一致的数字系统来测量无限集合,使在计算机上精确地处理发散序列、概率、分形、优化问题、数值微分,ODE(常微分方程)等等成为可能。

特别是,这种新方法使研究人员能够以比传统工具更高的精度考察连续统假设和黎曼ζ函数中的复杂抽象的数学对象。这两个问题的难点都来自在于传统的数字系统天生的弱点。在Infinity计算机网页上可以找到获取更多信息:http://www.theinfinitycomputer.com

来源:煎蛋

发布者

小旭旭

iOpenV 创始人,80后,从事:项目管理、网站建设方案、网站优化策略;职务:网站管理员、部门主管、技术总监、经理。

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